AVANT-PROPOS. v 



minimum le long d'un contour déterminé jouissent d'une définition ponctuelle 

 indépendante de ce contour. Ce fait devait amener à reconnaître que le 

 minimum considéré n'est pas absolu et que par un contour donné on peut 

 faire passer une infinité de surfaces minimas. On attribue à Bjôrling le 

 mérite d'avoir établi que si le long du contour on fixe les plans tangents, la 

 surface minima est entièrement définie. MM. 0. Bonnet et Catalan ont, d'ail- 

 leurs, dans leurs mémoires précités, appliqué fréquemment ce lemme. 



Quoi qu'il en soit, un problème, plus assujetti que celui de Monge, résulte 

 de celle remarque : construire géométriquement la surface minima inscrite 

 à une déceloppable donnée, le long d'un contour tracé sur cette surface. 

 Que si le problème analytique ne présente pas de difficultés réelles, tant 

 que l'on reste dans la généralité, la question géométrique, à raison même du 

 caractère de minimum qui la domine, présente un intérêt indiscutable. Nous 

 montrerons comment elle reçoit une entière solution par l'introduction d'une 

 idée féconde due à 31. Moutard, je veux parler de la correspondance par 

 orlbogonalité des éléments. 



Un autre problème tout aussi précis s'impose également : puisque, cette 

 fois, la surface est minima minimorum, son aire, limitée au contour, est 

 unique et sa mesure doit résulter uniquement des éléments du contour. 



Un très-beau tbéorème de Riemann a répondu à ce desideratum. Il en est 

 de ce résultat comme de tous ceux qui sont marqués au coin de la simpli- 

 cité; les considérations les plus simples (à posteriori) permettent de les 

 rétablir. Nous en rattacherons la démonstration aux idées de Gauss, en 

 essayant une ébauche d'exposé simplement géométrique de la théorie des 

 surfaces minimas. 



Si les premiers géomètres qui s'occupèrent des surfaces minimas tendirent 

 aux résultats généraux, leurs successeurs devaient s'attacher à particulariser 

 et à simplifier; les admirables expériences de M. Plateau devaient amener, 

 d'ailleurs, à des recherches plus précises, et, la satisfaction de voir façonner, 

 par la nature, des surfaces dont la discussion est parfois hérissée de diffi- 



