CHAPITRE II. 



CONSIDÉRATIONS GÉOMÉTRIQUES DIRECTES AU SUJET DES ÉLASSOÏDES. 



§ 7. 

 En chaque point d'un élassoïcle la courbure moyenne est nulle. 



L'existence des élassoïdes se déduit du problème posé pour la première 

 fois par Lagrange : trouver la surface à étendue mini ma limitée à un contour 

 déterminé. 



Soit (C) un contour fermé, gauche. Admettons qu'il existe une surface (0), 

 passant par (C), ne présentant à l'intérieur aucune nappe infinie et jouissant 

 du caractère de minimum; celui-ci sera réalisé si toute surface (0'), infini- 

 ment voisine de (0), et passant comme elle par le contour (C), a une étendue 

 comprise à l'intérieur du contour ne différant de rétendue correspondante 

 de la surface (0) que par un infiniment petit du second ordre (les quantités 

 qui mesurent l'écart des surfaces (0) et (0') étant des infiniment petits du 

 premier ordre). 



Il importe d'observer que le mode de correspondance des surfaces (0) et 

 (0') est arbitraire; il doit simplement satisfaire à ces conditions, qu'aux 

 points correspondants les plans tangents fassent entre eux des angles infini- 

 ment petits du premier ordre et que le contour (C) se corresponde à lui- 

 même sur les deux surfaces. En particulier, le long de ce contour, les plans 

 tangents correspondants doivent faire des angles infiniment petits du premier 

 ordre. 



Ces restrictions préalables vont montrer tout à l'heure pourquoi la solution 

 du problème de Lagrange n'est réellement jamais obtenue. 



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