10 ÉTUDE DES ELASSOIDES 



Puisque le mode de correspondance des surfaces (0) et (0') est arbitraire, 

 il est naturel d'avoir recours au suivant : prendre comme points correspon- 

 dants a 1 et a deux points de (0') et de (0) situés sur une même normale 

 à (0). Il est clair que si (0) et (0') n'ont pas de nappes infinies et sont infi- 

 niment voisines, les restrictions obligatoires sont observées. 



Ceci posé, traçons sur (0) un petit contour fermé (a) et, tout le long, 

 menons les normales à la surface (0) : elles vont découper, sur (0'), un con- 

 tour fermé («'), correspondant à (a). La longueur aa' du segment compté 

 sur la normale et limitée aux deux surfaces, pour tous les points du contour, 

 est un infiniment petit du premier ordre; sa valeur moyenne peut donc 

 s'écrire H .dp (où H est une fonction finie). Désignons donc par rf(«) l'aire du 

 contour («), par do l'aire sphérique (entendue à la façon de Gauss) de ce 

 même contour; enfin soient Ri et R2 les rayons de courbure principaux 

 de (0) pour un point moyen pris à l'intérieur du contour (a). 



D'après un théorème de Gauss, on a 



<Z(a) = R,.R s de, 



à une quantité infiniment petite près, par rapport à rf(a). 

 De même façon : 



d(a') = (R, -+- Ih/ P )(R, -+- Udp) : > 



cos t 



si i désigne l'angle des plans tangents en a et a'. .Mais on doit écrire : 



d(a') = d{a) + Ad(a) 



et comme l'angle * est infiniment petit du premier ordre, on est en droit 

 d'écrire, au degré d'approximation précité 



de 



(R, -t- iy.Hi/p -+- HVp*. 



Ceci s'applique à deux surfaces infiniment voisines quelconques, et l'on 

 voit que Ad (a) est ainsi du troisième ordre infinitésimal, en général. 



Dès lors, l'intégrale des éléments semblables étendue jusqu'au contour (C) 

 sera en général une quantité infiniment petite du premier ordre. 



