OU SURFACES A COURBURE MOYENNE NULLE. 11 



Or, si le minimum a lieu, il faut que celte quantité soit infiniment petite 

 du second ordre, et le terme correspondant de Ad (a) doit disparaître. 

 On doit donc avoir, tout d'abord, 



R, -t- il = o. 



Ainsi, la première condition du minimum est qu'en chaque point de (a 

 surface minima, les rayons de courbure principaux soient égaux et de 

 signes contraires. 



Cette condition équivaut à l'équation différentielle des élassoïdes; comme 

 elle lie deux éléments de courbure, l'équation est du second ordre et pat- 

 conséquent son intégrale générale ne comporte que deux fondions arbitraires 

 distinctes (on verra plus loin le parti qu'il faut tirer de cette remarque). 



§ 8. 

 Aire d'une portion d'élassoide (intégrale de Riemann). 



Afin de pousser plus avant la solution du problème de Lagrange il importe 

 de chercher à évaluer immédiatement l'aire dont on demande le minimum; 

 les considérations qui précèdent rendent celte recherche facile. 



Considérons en effet une famille d'élassoïdes se succédant par variations 

 insensibles, commandées par celles d'un paramètre, et soient (0) et (0') 

 deux élassoïdes infiniment voisins. Soient («) et (a') deux contours fermés, 

 correspondants, tracés sur ces deux surfaces, (A) et (A) -f- A (A) ' es a ' res 

 limitées à ces contours. Quelle que soit la loi de variation des élassoïdes, il 

 est facile de trouver une expression géométrique de a(A). Si, en effet, le long 

 de («), nous menons au premier élassoïde la normalie qu'il détermine, cette 

 surface gauche trace sur (0') un contour fermé (a"), et, d'après ce qui a été 

 dit plus haut, l'aire de (0'), limitée au contour («"), ne diffère de l'aire de (0), 

 limitée au contour (a), que d'une quantité infiniment petite du second ordre 

 (l'aire étant finie). Par conséquent la variation A(A) est représentée, à un 

 infiniment petit du second ordre près, par la couronne comprise entre les 



