OU SURFACES A COURBURE MOYENNE NULLE. 13 



il en résulte 



/•r/tf.SB 

 (A)= / — — cos». 



C'est l'expression donnée par Riemann. 



L'élément de l'intégrale n'est autre chose que la projection du triangle 

 infinitésimal a'a[S sur le plan tangent en a' à l'élassoïde. 



§ 9. 

 Aire d'une portion finie d' élassoïde inscrite à un cône. 



Signalons en passant le cas où u est constant tout le long du contour («) : 

 Lorsqu'un élassoïde coupe, sous un angle constant, un cône et lorsque la 

 portion de surface comprise dans le contour d'intersection est fermée, sans 

 nappes infinies, l'aire de celte portion de surface est proportionnelle à celle 

 de la surface du cône limitée au même contour et au sommet. 



Dans le cas où le cône est tangent à l'élassoïde, les deux surfaces sont 

 équivalentes. 



L'intégrale donnée ci-dessus montre tout d'abord (pie l'aire d'un élassoïde, 

 et par conséquent la surface elle-même, dépendent non-seulement du con- 

 tour donné (a), mais encore des plans tangents en chacun des points de ce 

 contour. Il y a donc une infinité d'élassoïdes passant parmi contour donné. 



Il convient de poser, avec Bjorling, le problème de la construction d'un 

 élassoïde circonscrit à une développable déterminée le long d'un contour 

 (racé sur celle-ci. 



§ 40. 

 Intégrale invariante le long d'un contour fermé. 



Remarquons, d'un autre côté, que si la considération d'homothétie a 

 disparu de l'intégrale, celle du point fixe dans l'espace a persisté, quoique 

 l'aire de l'élassoïde soit indépendante de ce point choisi arbitrairement. Il 



