14 ETUDE DES ÉLASSOIDES 



en résulte que l'expression 



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étendue à un contour fermé tracé sur une développable, est invariante, quelle 

 que soit la position du point fixe S dans l'espace. 



On trouvera l'expression de Taire d'une portion d'élassoïde quand on saura 

 trouver une famille d'élassoïdes dont les surfaces varieront proportionnel- 

 lement, et il n'est pas besoin pour cela que les élassoïdes soient tous sem- 

 blables et semblablemenl placés. 



§ H. 

 Définition des problèmes de Monge et de Bjôrling. 



Au point où nous en sommes arrivé, on comprend que le problème de 

 Lagrange (faire passer par un contour donné une surface d'aire minima) 

 sera susceptible de solution, seulement quand on saura construire tous les 

 élassoïdes passant par un contour et ne présentantes de nappes infinies à 

 l'intérieur de ce contour. Ainsi est-on amené, par la nécessité, à résoudre suc- 

 cessivement les problèmes de Monge et de Bjôrling, savoir : 



Problème de Monge : Construire toutes les surfaces à courbure moyenne 

 nulle (élassoïdes), c'est-à-dire en chaque point desquelles les rayons de cour- 

 bure principaux sont égaux et de signes contraires. 



Problème de Bjôrling : Construire l'élassoïde circonscrit à une surface 

 développable donné, le long d'un contour déterminé. 



Leur solution fera l'objet des chapitres qui vont suivre. 



