16 ÉTUDE DES ELASSOIDES 



propres conjuguées, donc elles caractérisent les élassoïdes. Ainsi se trouve, 

 au début de celte étude, le résultat mis en lumière, pour la première fois, 

 par M. J. Serret [Journal de Liouville, t. XI, 184G) et dont nous déduirons 

 presque intuitivement la solution du problème de JMonge. 



§ 13. 

 Propriétés des congruences harmoniques. 



Il convient de faire un moment diversion pour rappeler quelques notions 

 très-simples relatives aux congruences harmoniques. 



Soient (A) et (B) deux surfaces arbitraires dont nous ferons correspondre 

 les points par parallélisme des plans tangents. Soient A et B deux points 

 correspondants, les droites telles que AB engendrent une congruence harmo- 

 nique, c'est-à-dire telle que si on la décompose en ses deux familles 

 de développables, celles-ci tracent, sur les surfaces (A) et (B), deux familles 

 de courbes conjuguées. 



La proposition sera démontrée si Ton fait voir que les indicatrices des 

 surfaces (A) et (B) ont toujours deux diamètres conjugués parallèles. M. de 

 la Gournerie a donné, de ceci, une démonstration réduite à l'évidence en 

 montrant que l'on peut toujours : 1° amener les coniques à avoir même 

 centre; 2° en réduire une de telle façon qu'elle devienne doublement tangente 

 à l'autre; le diamètre de contact et les tangentes sont manifestement les 

 directions cherchées. 



Ainsi, dans le cas qui nous occupe, la congruence est harmonique par 

 rapport aux surfaces (A) et (B); il est clair qu'elle l'est également par 

 rapport à chacune des surfaces divisant, en segments proportionnels, les 

 cordes telles que AB, surfaces correspondant à (A) et (B) par parallélisme 

 de leurs plans tangents. 



Particularisons un peu, en supposant développables les surfaces (A) et 

 (B), que nous avions prises arbitraires. 



Soient T a et r \\ les génératrices de ces deux surfaces situées dans deux 

 plans tangents parallèles ou non, désignons par (A), (B) les arêtes de rebrous- 



