OU SURFACES A COURBURE MOYENNE NULLE. 19 



plans tangents. Ces élassoïdes jouissent de propriétés fort singulières; elles 

 seront développées dans un chapitre spécial. Ils comprennent comme limites 

 les deux surfaces développables (A) et (B) qui ont servi à les engendrer. 

 Chacun des élassoïdes de la famille se dislingue par la valeur d'un coefficient 

 afférent au rapport de division du segment AB, mais il est bien clair qu'on 

 ne particularise en aucune façon en supposant le coefficient égal à un 

 puisque les deux fonctions arbitraires caractérisant la généralité de la défi- 

 nition restent générales. En conséquence on peut dire que tout élassoïde est 

 le lieu des milieux des segments de droites limités à la remontre de deux 

 lignes de longueur nulle. 



Il peut se faire que les deux lignes (A) et (B) soient identiques, c'est-à- 

 dire appartiennent à une même courbe; dans ce cas, nous dirons, avec 

 M. Sophus Lie, (pie l'élassoïde est double. 



§ n. 



Le plan de l'infini coupe un élassoïde seulement suivant des droites. 



Nous déduirons de ce qui précède une seule conséquence : la section d'un 

 élassoïde, par le plan de l'infini, se compose de droites (résultat énoncé depuis 

 longtemps par Geiser). 



Il est clair en effet qu'on peut substituer aux définitions données précé- 

 demment la suivante : 



Tout élassoïde est le lieu d'un point associé sur les droites AB rencontrant 

 deux lignes de longueur nulle (A) et (B), au point de l'infini, et tel que le 

 rapport anharmonique des deux points associés et des points A et B ail une 

 valeur constante. 



Dans ces conditions, un point de l'élassoïde, situé à l'infini, correspond à 

 deux points de (A) et (B) également situés à l'infini; dès lors, le point de 

 rencontre delà droite AB, avec le plan de l'infini, est indéterminé, par con- 

 séquent la droite, tout entière, appartient à l'élassoïde. 



Nous ne poursuivrons pas dans celle voie les belles conséquences que M. Lie 



