24 ÉTUDE DES ELASSOIDES 



du segment AB, les plans tangents aux surfaces élémentaires de la congruence 

 soient rectangulaires. Mais il peut arriver, en particulier, qu'il y ail plus de 

 deux paires de courbes. S'il en est ainsi, il y en a une infinité. C'est ce que 

 nous allons démontrer. 



Soient (A) et (B) deux surfaces (arbitraires jusqu'à nouvel ordre), soit D 

 la droite d'une congruence (D) joignant les points correspondants A, 15. 

 Si, par les milieux des segments AB, on élève des plans perpendiculaires 

 aux cordes AB, ils loucheront une certaine surface (0) que nous prendrons 

 pour surface de référence. Même, pour simplifier les calculs, nous sup- 

 poserons que les lignes coordonnées (m), (y) sont les lignes de courbure 

 de (0). 



£,>j, Ç étant les coordonnées instantanées du point A, 



£, ■/,, — ç seront les coordonnées instantanées du point B. 



Si l'on suit, sur (0), une ligne satisfaisante (c'est-à-dire telle que les plans 

 tangents à la surface élémentaire engendrée par D soient rectangulaires en 

 A et B), on aura 



AY A - AY D 



AX A — AX„ 



0. 



En effet, si 8 désigne l'angle du plan langent en A, à la surface élémen- 

 taire, avec le plan ZOX, on a manifestement 



AY A 



,S6= âx: 



AX A et AY A ayant les valeurs déduites des formules (1), lorsque l'on parti- 

 cularise les axes en supposant que (m) et (y) soient lignes de courbure, 

 c'est-à-dire en annulant D. Par conséquent, on suivra sur (0) une ligne 

 satisfaisante si 



[•'"h£^f-*(S-;M]-—j_ o 



