OU SURFACES A COURBURE MOYENNE NULLE. 31 



Puisque la surface de référence est arbitraire par rapport à la congruence 

 isotrope (D), elle peut coïncider avec Y enveloppée moyenne de la congruence 

 (voir § 2), on réalisera celte hypothèse en annulant /. Il vient alors : 



dm 

 dm 



Pdu 



avec 



dv jdu ■ du gdv 



d\ df d\ dg 



— —=f+-'-V, __ = — Qm — -rrf-ij. 



du gdv dv jdu 



Substituant les valeurs de £ et n dans les quatre équations différentielles, 

 on trouve 



cPm 1 rfP rfZ 1 dQ *dZ m 



dwdi' P dv du Q (/m du 



</ / dl \ dP dl 

 d 



d j dl \ rfQ rfZ 



/ / rfZ \ dP d'L 



- - + h PZ = , 



» \P(/m/ QVu dv 



-H QZ = 0. 



(8) 



du \QdvJ P-du dv 



Les deux premières équations entraînant la relation 



[Q + 3P = o, 



on voit, d'après la signification de P et Q (§ 4), que la surface de référence est 

 à courbure moyenne nulle. 



Ainsi se trouve établie celte proposition, capitale dans notre élude : 

 L'enveloppée moyenne, d'une congruence isotrope, est un élassoïde. 



Avant d'aborder la résolution du groupe d'équations (8), établissons deux 

 nouvelles propriétés essentielles des congruences isotropes. 



