OU SURFACES A COURBURE MOYENNE NULLE. 55 



on doit, en conséquence, avoir 



et le carré de l'élément linéaire de la sphère peut s'écrire 



ds l = x^du' -+- dv^). 



Ainsi la recherche des congruences isotropes est ramenée à celle des 

 réseaux isométriques sphériques. 



Soit tracé, sur une sphère, un réseau isométrique arbitraire, que sur 

 les tangentes aux courbes de l'une des familles on porte, à partir des 

 points de contact, des segments égaux aux valeurs de a en ces points; que, 

 par les extrémités des segments, on mène des droites parallèles aux 

 normales de la sphère, ces droites engendreront une congruence isotrope. 



Le problème de l'intégration des réseaux isométriques sphériques a été 

 résolu par M. Liouville; on devra donc, de toute façon, trouver l'intégrale 

 générale explicite des congruences isotropes ou des élassoïdes. 



§ 28. 



Pour une congruence isotrope le paramètre de distribution est fonction 

 de droite, et toutes les lignes de striction sont situées sur 'une surface 

 unique. 



Mais revenons à l'équation de la surface élémentaire. Sur chacune des 

 droites D, d'une surface élémentaire, existe un point central dont le lieu est 

 appelé la ligne de striction de la surface élémentaire; le plan langent à la 

 surface au point central, dit le plan central, est perpendiculaire au plan 

 tangent à l'infini. Enfin, il y a lieu de considérer ce que M. Chasles a défini 

 paramètre de distribution; par abréviation nous le nommerons paramètre. 

 On sait qu'en un point de la droile, distant de x du point central, le plan 

 tangent fait, avec le plan cenlral, un angle w défini par l'équation 



où p représente la valeur du paramètre. 



Tome XLIV. 6 



