OU SURFACES A COURBURE MOYENNE NULLE. 49 



§ 37. 



Construction des éléments de l'élassoïde moyen à l'aide de ceux 

 d'une surface élémentaire. 



Si le calcul qui précédé est utile (surtout lorsque Pou particularise la 

 surface élémentaire), il ne conduit pas à une construction purement géomé- 

 trique du point de contact. Pour l'obtenir, portons, de part et d'autre du 

 point central, sur la génératrice D, un segment égal à p; les extrémités de 

 ces segments seront situées sur deux courbes (;;) et (/>') que l'on peut sup- 

 poser tracées sur la surface élémentaire (c/). Cherchons à déterminer les 

 équations des plans normaux à ces courbes, aux points P et P', situés sur D. 

 On a pour le point P, par exemple, situé au-dessus du plan XOY 



AX P = — D»p {du -4- dv), 

 AY p =D--p{dv — du), 



AZ = du f— — &) -t- dv (— + — )• 

 ' \du dv) \dv du) 



.Mais l'équation du plan normal étant 



(X - ê)AX, + (Y - ,)AY„ + (Z - Ç)AZ, = 0, 



devient, après substitution, 



— XDÎ((/u -t- dv) + YD«(f/c — du) -t- 7,\ — {du + dv) + -~-(dv — du)] = 0. 



\_pda pdv J 



Pour obtenir l'équation du plan normal en P', il faudrait opérer semblable- 

 ment sur les valeurs de AXP', etc., on trouve 



X\)Udv — du) -+- YDïfdw -+- dv) + z[ ^-{dv - du) ~ {du -+- dv)~\= 0. 



tpdu pdv J 



On voit 1° que les deux plans normaux, aux courbes (P) et (P'), passent 

 par le point de contact 0. 



2° Que ces plans normaux coupent le plan moyen suivant deux droites 

 rectangulaires inclinées à 45° sur la caractéristique. 



Tome XLiV. 8 



