OU SURFACES A COURBURE MOYENNE NULLE. 51 



On en déduit sans difficulté [en tenant compte de (18)] pour les équations 

 des caractéristiques des plans isotropes 



z ± pV^l = o. 



C'est là une simple vérification, car on savait que ces caractéristiques passent 

 par les foyers situés sur D, lesquels sont précisément déterminés par l'équa- 

 tion précédente en Z; quant à rorlliogonalilé des génératrices des dévelop- 

 pâmes isotropes et de la droite D qui les rencontre, elle résultait du lemme 

 suivant, établi par Poncelet. 



Dans un plan, si deux droites OA , OB sont rectangulaires, elles ren- 

 contrent la droite de l'infini en deux points A et B harmoniques conjugués 

 par rapport aux ombilics I et J. 



Lorsque le plan considéré est isotrope, toute droite OB qu'il contient est 

 orthogonale aux droites isotropes; en effet, dans ce cas, les points I et J 

 coïncident avec le point A. C'est pourquoi nous pouvons dire que, dans un 

 plan isotrope, toute droite du plan est orthogonale à la direction isotrope 

 unique de ce plan. 



Ceci posé, cherchons, sur les génératrices des développahles isotropes, les 

 points appartenant aux arêtes de rebroussement. Rappelons tout d'abord que, 

 si des plans passent par les diverses génératrices d'une surface gauche, la 

 caractéristique d'un plan rencontre la génératrice contenue dans te plan, 

 au point où celui-ci louche la surface réglée. Dans le cas où la surface est 

 développable, le point de rencontre appartient à l'arête de rebroussement. 



Dans le cas qui nous occupe, les plans 



Z = d=p\/— \ 

 ont des caractéristiques contenues dans les plans 



ou d'après (19) 



X(/t 



dp dp 



v -+- Yd» ±V —\[-{- du -+- -f-Uv ] D-ï = 

 \dii do I 



