52 ETUDE DES ELASSOIDES 



soit en éliminant le symbole ± ]/■ — 1 



Xdv ■*■ Y du + z--~ (— du -4- -p d») = o. 

 p Wm dv I 



Comme les points cherchés sont les mêmes, quels que soient du et dv, on 

 voit qu'ils sont déterminés par les équations 



i dp , dp 



X -i- ZD-f— = Y -¥■ ZD"ï^- = 0. 

 pdv pdu 



Ainsi les points de contact, avec les arêtes de rebroussemént des généra- 

 trices des développables rencontrant D, sont situés sur une droite passant 

 par le point de conlacl 0. D'un autre côté, comme les deux génératrices sont 

 situées dans des plans parallèles au plan moyen, on voit que : 



L'élassoïde moyen est le lieu des milieux des cordes rencontrant les arêtes 

 de rebroussemént des deux développables isotropes focales de la congrucnce. 



Nous retrouvons ainsi la construction ponctuelle des élassoïdes, établie 

 synlhéliquement au § 14. 



En l'ait, constatant que les plans représentés par 



z = ±pl/^T 



enveloppent des courbes de longueur nulle, et non des surfaces, nous avions 

 trouvé la génération ponctuelle des élassoïdes que M. Sophus Lie a publiée 

 avant nous. 



Nous aurons l'occasion, plus loin, de vérifier que les arêtes de rebrous- 

 semént des développables isotropes sont bien des lignes de longueur nulle. 



Pour le moment, voyons à déduire des conséquences des résultats établis 

 dans ce chapitre. 



