56 ETUDE DES ELASSOIDES 



Ainsi, le plan NMO est perpendiculaire au plan tangent à la développable, 

 le long de la génératrice. La droite 310 est donc la normale à la ligne double 

 siluée dans le plan oscillateur. Mais ici la caractéristique du plan moyen est la 

 droite polaire, intersection des plans normaux consécutifs. En conséquence 

 on peut dire que : 



Tout élassoïde est inscrit à la développable polaire de la ligne double 

 réelle , intersection des deux développables isotropes qui servent à l'engen- 

 drer ; la courbe de contact est le lieu des centres de courbure de la ligne, 

 double. 



§ 41. 



Sur un élassoïde donné on peut tracer une <x> 5 de lignes lieux des centres 



de courbure de courbes doubles. 



Conséquemment, sur un élassoïde quelconque, on peut tracer une oo 3 de 

 lignes, le long desquelles la surface est tangente aux développables polaires 

 de courbes gauches. 



Si l'élassoïde est algébrique, toutes les congruences isotropes qui l'en- 

 gendrent sont algébriques; donc les courbes gauches, précitées, sont égale- 

 ment algébriques. Elles sont du reste, en général, de même degré; car ce 

 sont les intersections de deux développables isotropes, déplacées, parallèle- 

 ment à elles-mêmes, dans l'espace. 



inversement, si Ton prend, pour surface élémentaire d'une congruence 

 isotrope, une surface développable, son arête de rebroussement sera ligne 

 double (souvent partielle) du couple de développables isotropes satisfaisantes. 

 Il su dira que la développable soit algébrique pour que l'élassoïde moyen 

 soit algébrique. 



C'est le cas de particulariser encore et de considérer une développable 

 réduite à un plan : l'arête de rebroussement sera une courbe (C) arbitraire 

 de ce plan, la surface polaire devient un cylindre, admettant pour section 

 droite la développée (D) de la courbe (C). Celle développée est une géodé- 

 sique de l'élassoïde. 



