OU SURFACES A COURBURE MOYENNE NULLE. 57 



§ 42. 



Élassoïde admettant pour géodésique une courbe plane. Vérification 

 de la transformation des congrùences isotropes satisfaisantes. 



On est donc en droit, de dire avec Henneberg : tout élassoïde , qui admet 

 pour géodésique une courbe plane, (D), sera algébrique si (D) est la déve- 

 loppée d'une courbe algébrique. 



A cette occasion, nous vérifierons la transformation réelle des congrùences 

 isotropes satisfaisantes, donnée au § 34. 



Dans le cas particulier considéré, la surface élémentaire de la congruence 

 est formée par les tangentes à une courbe (C) développante de la géodé- 

 sique plane (D); on doit pouvoir adopter telle développante que Ton voudra 

 et par conséquent la transformation précitée doit transformer les tangentes 

 de la courbe (C) en tangentes d'une courbe parallèle. C'est ce qui a lieu en 

 effet en considérant un déplacement des tangentes de (C) perpendiculaire au 

 plan de cette courbe; la rotation de 90° autour des tangentes primitives 

 ramène les secondes tangentes dans le plan de (C) et à une distance constante 

 des premières; les droites transformées enveloppent donc une courbe paral- 

 lèle à (C). 



L'élassoïde moyen et la surface moyenne sont focales d'une même congruence. 



Si dans la formule (17) on annule A/;, cotw est aussi nulle; par consé- 

 quent les droites telles que OM sont normales aux surfaces élémentaires 

 caractérisées par la constance du paramètre. Remarquons, à l'inverse, que 

 si AZ est nul, les droites telles que OM sont tangentes aux surfaces élémen- 

 taires; mais la condition 



AZ = 

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