M ÉTUDE DES ÉLASSOIDES 



§ 47. 



De la' correspondance par orthogonalité des éléments entre deux surfaces 



dont l'une est une quadrique. 



Ainsi s'introduit dans la théorie des élassoïdes la considération importante de 

 la correspondance par orthogonalité des éléments. Ce mode de correspondance 

 qui va jouer un rôle capital dans nos recherches,a été imaginé par M. Moutard. 

 Ce géomètre en a fait une très-belle application en donnant l'intégrale avec 

 deux fonctions arbitraires et même la construction géométrique des surfaces 

 correspondant aux quadriques par orthogonalité des éléments. La théorie qui 

 nous occupe en dérive immédiatement puisqu'ici la quadrique se réduit à la 

 sphère. Nous aurions pu déduire de l'intégrale de M. Moutard la nature des 

 surfaces moyennes des congruences isotropes, mais il importait de tout établir 

 directement, et les équations (20) nous serviront tout à l'heure. D'ailleurs 

 les procédés de la périmorphie s'appliquent très-simplement au mode de 

 correspondance de M. Moutard, ils conduisent à un théorème général, d'une 

 grande simplicité, d'où découle avec évidence l'intégrale relative aux qua- 

 driques, intégrale qui a été le point de départ d'importantes recherches 

 géométriques ou analytiques. 



Les surfaces moyennes sont rattachées aux élassoïdes moyens par d'élé- 

 gantes relations où figurent les courbures des deux surfaces; nous allons les 

 établir par les procédés de périmorphie, en insistant un peu sur leur emploi 

 qui est absolument général. 



§ 48. 



Tout réseau conjugué de la surface moyenne correspond à un réseau 

 conjugué de l'élassoïde moyen. 



Le groupe (15) donnant les projections du déplacement du point M permet 

 d'écrire immédiatement l'équation du plan tangent à la surface moyenne 



dp dp i 

 X-f -+- Y-f =DJp.Z (25) 



dv du ' 



