66 K'ITDK DES ÉLASSOIDES 



Mais il est facile de voir que celle équation n'est autre que celle de direc- 

 tions conjuguées tracées sur l'élassoïde, car la caractéristique du plan moyen 

 esl déterminée par 



Z = Xdv + Ydu =0, 



el comme ici 



AX = \)-~Htu', A Y = l)-ïrft)', 



remplaçant x el y par AX el AY, on trouve en définitive pour l'équation des 

 directions conjuguées 



du'dv ■+■ dv'du = (25) 



Celle analyse établit donc un fait digne de remarque, savoir que, sur la 

 surface moyenne tout réseau conjugué correspond à un réseau conjugué 

 tracé sur l'élassoïde moyen. En particulier, les lignes asymplotiques d'une 

 surface moyenne correspondent aux lignes asymplotiques de l'élassoïde 

 puisqu'une famille d'asymploliques représente un réseau conjugué dont les 

 courbes des deux familles coïncident. 



Le fait est d'autant plus remarquable qu'il y a une oo 3 de surfaces 

 moyennes correspondant à un même élassoïde. 



S 49- 



Sur la surface moyenne et l'élassoïde moyen les lignes asymplotiques 



se correspondent. 



Nous verrons tout à l'heure que l'intégration i\e» lignes asymplo- 

 tiques d'un élassoïde ne dépend jamais que de quadratures; on peut donc 

 dire que {'intégration des asymplotiques des surfaces correspondant par 

 orlhogonalité des éléments à la sphère, est toujours ramenée aux qua- 

 dratures. 



On peut encore conclure pour la projection de la direction conjuguée de 



