OU SURFACES A COURBURE MOYENNE NULLE. 71 



§ 52. 



La relation qui précède se retrouve en étudiant les nappes de la développée 

 d'une surface dont les rayons de courbure principaux sont liés, cl en 

 général dans la théorie de la correspondance par orthogonalité des 

 éléments. 



C'est ici qu'il convient de faire un rapprochement. 



Nous avons montré que les deux nappes de la développée d'une surface 

 dont les rayons de courbure sont liés (surfaces considérées pour la première 

 fois par M. Weingarlen), se correspondent de telle manière qu'aux asympto- 

 tiques de l'une correspondent les asymploliques de l'autre. M. Halphen a 

 ensuite établi que si R,, R 3 sont les rayons de courbure principaux de l'une 

 des nappes, L,, L 2 ceux de l'autre nappe et OM le segment de normale 

 compris entre les deux nappes de la développée, 



L,L,.R 1 R,= ÔM 4 . 



Dans l'espèce, la congruence, admettant les deux surfaces considérées 

 comme focales, a ses plans principaux rectangulaires; on peut donc dire que 

 l'équation (28) régit aussi les relations des deux nappes, puisque sin V est 

 égal à l'unité. 



Ces propriétés similaires tiennent à des lois beaucoup plus générales se 

 rapportant aux liaisons des nappes de congruences particulières. C'est ce que 

 nous établirions en rattachant toutes ces théories à celles des couples de 

 surfaces applicables l'une sur l'autre. 



Mais nous devons nous refuser à nous écarter plus longtemps de la théorie 

 des élassoïdes; nous aurons d'ailleurs encore l'occasion de faire allusion à 

 plusieurs théorèmes généraux qui trouvent de remarquables applications dans 

 la théorie des élassoïdes. (Voir chapitre XXII.) 



Revenons aux surfaces moyennes, et cherchons s'il n'est pas possible 

 qu'une surface moyenne soit élassoïde. 



