Tl ETl DE DES ELASSOIDES 



S 53. 



La surface moyenne ne peut être un élassoïde réel qu'en coïncidant 

 avec une surface de vis à filet quarré qui est aussi l' élassoïde moyen. 



Il faut d'après (20) que 



1*1 — ?M = <J. 



La droite OM sérail donc toujours tangente à une asymplotique de l'élas- 

 soide (o), mais le résultai s'obtient très-facilement à l'aide des équations (20): 

 puisque Taxe des X est une asymptote de l'indicatrice, on doit avoir 



df 

 p = -V- = o. 



gdv 



Doue, Vélussoïde est réglé, puisque l'asymplolique (8) est géodésique. 

 D'après un théorème dû à M. Catalan, on sait que l'élassoïde (quand il est 

 réel) n'est autre chose que la surface de vis à filet quarré. 



Comme il n'est pas sans intérêt de faire connaître les congruences 

 isotropes assez singulières, dont nous venons de signaler l'existence, nous 

 établirons, par nos procédés, le résultat de M. Catalan, et nous intégrerons le 

 groupe (20). 



Pour éviter les imaginaires, il convient de revenir aux premiers calculs 

 du § 2 ( J. De ce que les lignes (8) sont à la fois asymptoliques et géodé- 

 siques, 



Dj»= V, 

 D= U, 



/étant pris égal à l'unité. La troisième des équations de Codazzi donne, 

 pour déterminer g, 



V a _ d"g 

 9° ''"' 



