74 ÉTUDE DES ÉLASSOIDES 



Dans l'hypothèse caractérisée par l'équation (30) 



~~ == 4i? = R^R? 



donc, pour loule valeur réelle de u, les rayons de courbure principaux seront 

 de même signe; la surface est imaginaire. (Les congruences isotropes ne 

 peuvent apparaître dans les présents calculs basés sur l'hypothèse de l'ortho- 

 gonalilé de lignes asymptotiques distinctes). 

 Revenons à l'équation (29), on a 



dg a 



f/ilu ir -+- A" 



Or, celte expression exprime la courbure géodésique des lignes (u); et 

 comme les plans oscillateurs sont tangents à l'élassoïde, on voit que les 

 premières courbures de ces courbes sont constantes tout le long de Tune 

 d'entre elles. 



Le rayon de seconde courbure D est dans le même cas. 



Les lignes (a) sont donc des hélices orthogonales aux génératrices (v); 

 Tune de ces hélices se réduit à une droite, au cas où u s'annule. La surface 

 est une surface de vis à filet (/narré, comme l'avait indiqué, depuis long- 

 temps, M. Catalan. 



§ 54. 

 Recherche des congruences isotropes dont la surface moyenne est élassoïde. 



Passons à la détermination des congruences isotropes admettant cette 

 surface de vis pour surface moyenne. 



Il est clair qu'il doit entrer dans leur définition une constante arbitraire, 

 car si l'on opère sur une congruence satisfaisante la transformation du § 34- 

 en prenant pour direction fixe celle de l'hélice réduite à une droite, on obtient 

 encore une congruence isotrope satisfaisante. 



