OU SURFACES A COURBURE MOYENNE NULLE. 79 



ZOX, l — 1 est ia hauteur au-dessus du plan XOY du poinl de contact du 

 plan tangent précité. 



Puisqu'on a les valeurs instantanées des coordonnées du poinl de contact 

 A, rien n'est plus simple que de former les AX, A Y, AZ de ce point. Élevant 

 au carré ces expressions et ajoutant, on trouve pour le carré de l'élément 

 linéaire de la surface (A) 



</S" r du db ~\ du dh 



— = (»-t-2c)|2 — djr-t- [p -t- 2c)cix.tfu-<- 2 — dif + 4 — dxdy. . (33) 



V |_ dx dy ' J dx dy 



L'équation (32) permet de trouver l'expression des rayons de courbure 

 principaux de la surface (A) ainsi que les équations des images sphériques de 

 ses lignes de courbure. Opérant comme nous l'avons déjà fait bien souvent 

 dans ce mémoire, on trouve : 1° pour l'équation des images sphériques 



(34) 



2° pour l'équation des rayons de courbure principaux 



da db 



R 2 — 2R(2ch- p) -+- (2c -+-»)*— 4— •— = (35) 



da: dy 



Enfin, nous exprimerons que deux directions de (A) caractérisées par les 

 accroissements dx, dy d'une part, dx', dy' d'autre part, sont conjuguées, en 

 écrivant que le plan tangent en A à la normalie correspondant aux accroisse- 

 ments dx' , dy' est le plan central de la normalie correspondant aux accroisse- 

 ments dx, dy (théorème de Joachimstal). Nous n'insistons plus sur ces calculs. 

 On trouve ainsi pour l'équation des lignes conjuguées de (A) 



da I v\ . . dh 



aa / p\ dh 



— ■ ■ dx.dx' h- I c h — (ilxdij' -t- dijdx') -\ • dijdi/' = . . . . (36) 



dx \ 2/ dy 



SI en résulte pour l'équation des lignes asymptotiques 



da ( p\ dh 



— • dx'- -+- 1 c -+- - dx . dii h (/(/■ = 0. 



dx \ "21 J dy ■ 



