80 ETUDE DES ELASSOIDES 



L'importance des calculs qui précèdent tient à ce que la surface (A) est 

 arbitraire et à ce que le réseau sphérique (u, v) l'est également (pourvu qu'il 

 soit isométrique). 



§ 56. 

 Équation la plus générale d'un élassoïde en coordonnées sphériques. 



Dans le cas actuel, puisqu'il s'agit d'élassoïdes, nous obtiendrons l'équation 

 différentielle de ces surfaces en écrivant, par exemple, que dans l'équation 

 (35) le terme du premier degré en R disparaît, c'est-à-dire que la courbure 

 moyenne de la surface est nulle. Il vient 



2 dPp 



p -*- — —y =0 (57) 



> 2 dxdy 



l'équation des lignes de courbure ne change pas, mais celle des asymptoliques 

 devient 



rf*VÏ ± ^=TVj.* = ,38, 



enfin le carré de l'élément linéaire de l'élassoïde prend la forme remar- 

 quable 



rfS* du db 



= 4 — • — -dx.dy (39) 



i 1 dx dy J 



Rappelons, en dernière analyse, (pie l satisfait à la troisième équation de 

 Codazzi 



a 2 -t- 2 , 8 =0 (40) 



dxdy 



Si l'on remplace 1- par D on voit que les équations (37) et (40) coïncident 

 avec les deux premières du groupe (11). 



