82 ETUDE DES ELASSOIDES 



sous la forme simple et très-utile 



d; d>. 

 » = X'-+-2X-r- -t-V-*-2Y (41) 



où ne figurent plus que les deux fonctions arbitraires nécessaires et suffi- 

 santes, celles qui caractérisent le réseau isométrique sphérique étant mas- 

 quées. 



Inversement, on peut dans la formule qui précède particulariser autant 

 que Ton voudra les fondions arbitraires X et Y, pourvu qu'on laisse à Atonie 

 la généralité que comportent les deux fonctions arbitraires de son expression 

 en a? et y ; on obtiendra encore l'intégrale générale des élassoïcles, seulement 

 ils se sépareront en autant dégroupes qu'il y a de réseaux isométriques sphé- 

 riques distincts. 



Cette conséquence résultait également des calculs du § 27 relatifs aux 

 congruences isotropes. 



§ «0. 



Remarque sur les réseaux sphériques isométriques et trajectoires 



les uns des autres. 



Avant de déduire, de ce qui précède, les remarquables propriétés des 

 élassoïdes groupés, il convient de démontrer un résultat simple et connu, mais 

 qui nous importe particulièrement. 



Les trajectoires des courbes (u) sous un angle constant « et les trajectoires 

 sous le même angle des courbes (v) forment un réseau isométrique si le réseau 

 sphérique (u, v) est isométrique ; la valeur du 1, pour les deux réseaux, est fa 

 même. 



Soit, en effet, sur une surface qui peut être arbitraire 



posons 



du = du' cosm — f/f'sinu, 

 dit = dw'sina ■+ rfu'eos». 



