OU SURFACES A COURBURE MOYENNE NULLE. 85 



par conséquent, 



du d II <flog;. 



).\ . . . 



- I (COSW -+- fSIUul), 



dx dx U dx' 1 I 



db d ,' I (/ ; loa;i\ 



= — I — (cosw — tsinw). 



dy di/ u dij- I 



§ 62. 



Tous les élassoïdes groupés sont applicables sur l'un d'entre eux; 

 ils ne sont pas identiques. 



La formule (33) qui a trait au carré de l'élément linéaire devient en 

 conséquence 



x* dx \l dx 1 I dy \x dy* I J 



résultat qui ne contient plus trace de l'angle u. On peut donc énoncer cet 

 important résultat : 



Tous les élassoïdes groupés, dérivés d'un même réseau isométrique 

 sphérique, sont applicables sur l'un d'entre eux. 



Mais il pourrait y avoir doute sur leur non-identité quoique l'identité dût 

 entraîner des conséquences (en ce qui concerne les valeurs de p u ) à priori 

 non réalisées. 



Pour donner une preuve décisive, nous chercherons l'équation de l'image 

 sphérique des lignes de courbure de l'élassoïde du groupe, le plus général, 

 et nous ferons voir qu'elle varie avec w. 



On a, d'après (34), pour l'équation de l'image 



d l\ rf ! logl\ . 



— "- (c'OS u -+- JSina) 



dx \l dx' 1 I 



d il rfUogi\ .. ' 



— — (cos » — jsin a) 



dy U dif I [ 



ce qui établit la proposition annoncée. 



On peut même déduire de celte relation une conséquence géométrique 

 importante. 



