OU SURFACES A COURBURE MOYENNE NULLE. 



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§ 64. 



Recherche des élassoïdes admettant pour image sphérique de leurs lignes de 

 courbure un réseau isométrique déterminé. Intégration des congruences 

 isotropes satisfa isan les. 



Inversement, on est conduit à résoudre le problème suivant : étant donné 

 un réseau isométrique sphérique, trouver l'élassoïde qui l'admet pour image 

 de ses lignes de courbure; intégrer ses congruences isotropes généra- 

 trices. 



Nous pourrions déduire la solution, de ce qui précède, mais il est tout 

 aussi simple de rétablir directement. 



Prenons pour réseau (il, v) le réseau isométrique choisi. Soient £ et y les 

 coordonnées instantanées du pied de la droite D de la congruence isotrope, 

 p le paramètre de la congruence, p la distance du plan moyen au centre de 

 la sphère de référence. Sans recommencer des calculs identiques à ceux qui 

 ont été faits si souvent, nous écrirons immédiatement 



i=- 



(tvi (Il \ /f/ij f/A \1 



rfw; dv\ x-i 1 — — £ ) -±-du\ f 1-4- «h 



dv idu I \iln xdv I \ 



, I d% dx \ /V/î dx 



\ du xdv I \dv Xdu 



» (dir -f- dir) 



I" / de rf> \ (de dx \] , [ I d* dx \ tdv, d) 



\ du Xdv I \dv util l\ \ dv xdu I \du. Xd 



dx 



' X (dv"- -+- dv 1 ) 



La congruence étant isotrope, ces expressions doivent être indépendantes 

 de du et dv, ce qui entraine 



dy dx (II; dx 



-, r% + à r' =0 ' 



du Xdv dv xdu 



dvi dx dî; dx 



dv xdu du )dr 



