90 ÉTUDE DES ELASS01DES 



on en déduit 



(l"p d'p dx Idp .dp, 



-r-. + i— h — 2 — -h t t- 1 = | 



dx dx 1 xdx \dx dx 



d*p d : a dx [dp do \ 



-i i —L — 2 — — i— = (48) 



''.'/ 2 dy"* *-dy \dy dyl 



2 f/-p 2 d-p 



f + T«X^ ,=P 



X* dxdy >* rfxrfy 



Ces quatre équations à elles seules régissent le problème des congruences 

 isotropes. 



Comme cela devait être, (46) est vérifiée, ce qui démontre une fois de plus 

 le théorème fondamental. 



L'équation (47), exprimant la coïncidence de l'image sphérique des lignes 

 de courbure de l'élassoïde moyen et du réseau isométrique pris pour origine, 

 devient, développée, 



i [d : p d ! p \ dx dp dx dp 



- -i M L H -=0 (49) 



2 \dx~~ dy'/ xdx dx xdy dy 



on voit qu'elle entraîne 



l(?E.+ Ù\—*L ^!_iL f -^ = o (soi 



2 \dx i dy 1 ) Xdx dx xdy' dy K ' 



Ainsi se trouve préparé le problème que nous avons en vue. Quant à 

 l'intégration, elle ne présente pas de nouvelles difficultés : 

 Remplaçons X 2 par D, nous aurons : 

 1° Pour ce qui concerne p 



Dp d* P 



2 dxdy 



0, 



Comme 

 on doit avoir 



rf'p d'p dD dp d\) dp 

 dx' 1 dy* Ddx dx Ddy dy 



4XY 

 D = 



P = 



(X+.Y) 1 ' 



x. y; x, + y. 



X + Y X + Y 



