01 SURFACES A COURBURE MOYENNE NULLE. 95 



des centres de courbure des lignes doubles des developpables isotropes focales 

 des congruences isotropes satisfaisantes ; le long de ces courbes le paramètre 

 est nul. Ce qui précède monlre que ces courbes ont pour transformées, sur 

 l'élassoïde conjugué, les courbes de contact des cônes ayant pour sommets 

 tous les points de l'espace. En effet p ne peut s'annuler sans p D ,, par consé- 

 quent, les plans tangents à l'élassoïde conjugué le long de l'une des courbes 

 transformées passent par le centre de la sphère de référence (*). 



Ce résultai peut encore se généraliser en considérant les courbes le long 

 desquelles p D ou p D . sont constants; elles sont sur le premier élassoïde les 

 trajectoires des droites, telles que OM; sur l'élassoïde conjugué ce sont les 

 courbes de contact de developpables circonscrites à l'élassoïde et à des 

 sphères. 



Si l'on fait tourner les droites D d'une congruence isotrope autour de tous 

 les points de l'espace, de la manière indiquée ci-dessus, on obtiendra toutes 

 les congruences isotropes satisfaisantes relatives à l'élassoïde conjugué. La 

 question a pourtant besoin d'être approfondie, car on peut se demander 

 quelles positions occupent dans l'espace les divers élassoïdes moyens des 

 congruences isotropes dérivées des congruences relatives à un même élas- 

 soïde moyen choisi à priori. Le calcul nous amènera d'ailleurs à rencontrer 

 la propriété capitale, qui domine la théorie des élassoïdes conjugués. 



Reprenons pour surface de référence l'élassoïde moyen d'une congruence 

 isotrope et pour réseau (u, v) celui des asymploliqucs. Soit D la droite 

 instantanée d'une congruence isotrope (D) et P un point fixe de l'espace. 

 Je dis (pie, si à partir de ce point fixe, on porte sur des parallèles aux nor- 

 males de l'élassoïde des longueurs égales aux paramètres des diverses con- 

 gruences isotropes satisfaisantes, les plans perpendiculaires aux normales et 

 passant par les extrémités de ces segments louchent des surfaces identiques. 

 Cette propriété résulte déjà de la transformation indiquée au § 34, mais 

 établissons-la différemment. 



(*) Ce centre peut effectivement coïncider avec un point quelconque de l'espace. 



