OU SURFACES A COURBURE MOYENNE NULLE. 101 



d'où l'on conclut : 



AX„ ; = ^[(/r(l -+- K) -nrft/(1 — K)], AY -=— - [— <ln(\ -+- K) + rf»(l -K)], 

 A.\„, = — — [dv{\ — K) -t- r/i/(l 4-K)], AY 0l =— -[—du (I -K)-w/r(l -4-K1]. 



On en déduit, pour les carrés des éléments linéaires des surfaces (0,) et (0() : 



dS 0l = (/S ; =— - (1 + K 2 ) (die -t- dv 1 ). 



Ainsi les deux surfaces (0,) et (0() sont applicables l'une sur l'autre, et, 

 toutes les surfaces analogues de la famille, convenablement réduites par 

 homolhélie, sont applicables les unes sur les autres. 



§ 75. 



Une famille d'élassoïdes stratifiés comprend toujours 

 deux développables isotropes. 



Mais le fait important à déduire vient de ce que, si 



K = ± V~\ , 

 le carré de l'élément linéaire s'annule. 



Dans cette hypothèse, les AX, AY ne s'annulent pas, bien que le rfS" se 

 réduise à zéro. Dès lors les surfaces (0,) et (0{) se réduisent à deux courbes 

 de longueur nulle. D'où celte proposition décisive : 



Soient (0) et (0') deux élassoïdes conjugués ; joignez, à chaque instant, 

 les points correspondants et 0'; portez de part et d'autre des milieux m 

 de ces segments, et sur leurs directions, des longueurs égales entre elles et 

 au produit par V — 1 du demi-segment 00' ; les lieux des extrémités des 

 segments imaginaires, ainsi construits, sont des lignes de longueur nulle. 



