OU SURFACES A COURBURE MOYENNE NULLE. 107 



3° Former les couples de surfaces se correspondant à la fois par égalité 

 et orlhogonalité des éléments. 



Le premier problème peut être ramené au second, car étant données deux 

 surfaces (0) et (0') satisfaisantes, la surface (M), lieu des milieux des cordes 

 00', a ses plans tangents parallèles à ceux de (0) et de (0'); de ce que ces 

 dernières sont applicables rime sur l'autre il résulte que, si, par un point fixe 

 de l'espace, on mène des rayons égaux et parallèles aux demi-segments 00', 

 la surface, lieu des extrémilés des rayons (R), correspondra par orlhogo- 

 nalité de ses éléments à (M). Il est en outre visible que les plans tangents 

 de (R) sont parallèles à ceux de (0), (0') et de (M); donc les surfaces (M) 

 et (R) donnent la solution du second problème. 



Soient maintenant (M) et (R) ces deux surfaces satisfaisantes. Considérons 

 une asymplotique de (M), son image sur (R), ainsi que sur la sphère (S). 

 Nous savons que l'asymptotique de (M) correspond par orlhogonalité de ses 

 éléments à son image spbérique; il faut donc que celle-ci corresponde par 

 parallélisme d'éléments à l'image de l'asymptotique, sur (R); cette image est 

 donc une ligne de courbure. Ainsi les asymploliques de (M) correspondent 

 aux lignes de courbure de (R) et réciproquement. 11 faut en outre que les 

 images sphériques de ces lignes soient rectangulaires (en tant qu'images de 

 lignes de courbure). Il en résulte immédiatement que (M) et (R) sont des 

 élassoïdes conjugués. 



Reste donc à traiter le troisième problème : les éléments des deux surfaces 

 sont deux à deux égaux et rectangulaires. Considérons sur ces surfaces les 

 lignes de longueur nulle; elles se correspondent manifestement, comme étant 

 égales éléments à éléments, mais deux éléments correspondants ne peuvent 

 être rectangulaires sans que leurs tangentes isotropes rencontrent l'ombilicale 

 au même point; dès lors, si les lignes de longueur nulle sont distinctes sur 

 les deux surfaces, les plans tangents sont parallèles comme contenant deux 

 couples de droites isotropes parallèles. 



Ainsi, dans tous les cas, on n'obtient que les élassoïdes conjugués. 



