OU SURFACES A COURBURE MOYENNE NULLE. 113 



Supposons, tout d'abord, que l'on prenne pour (/) un point; (C) se réduit 

 à une droite. Le Z de celle-ci est égal à Tare de (C). Le premier élassoïde 

 admet pour géodésique la courbe (C). Si celle-ci est la développée d'une 

 courbe algébrique, on pourra algébriquement obtenir la correspondance sur 

 la droite (C) et, par conséquent, les deux élassoïdes conjugués seront 

 algébriques. 



§ 87. 



Un élassoïde admettant pour ligne de courbure une courbe plane sera 

 algébrique en même temps que la développante de cette courbe. 



Supposons maintenant que (■/) soit une courbe semblable à (C); le rapport 

 de similitude étant k, on aura 



dZ = d(c)l/l —k\ 



Ainsi Z sera proportionnel à l'arc de (C); et, si cet arc peut s'obtenir 

 algébriquement, c'est-à-dire si (C) est la développée d'une courbe algébrique, 

 la courbe (C) et les deux élassoïdes conjugués seront algébriques. 



Il est facile de pousser plus loin l'étude de ce cas intéressant : en effet, de 

 ce que f/Z est proportionnel à d(y) résulte que les tangentes à la courbe (C) 

 font des angles constants avec la normale au plan de (C). 



Mais les plans tangents le long de (C) ont leur lignes de plus grande pente 

 parallèles aux tangentes de (C); conséquemment, Pélassoïde passant par (C) 

 coupe le plan de celte courbe sous un angle constant. 



D'après un théorème bien connu, (C) est alors ligne de courbure de 

 l'élassoïde. Ainsi, on est en droit d'énoncer celte généralisation du théorème 

 d'Henneberg : 



Tout élassoïde, admettant pour ligne de courbure une courbe plane, 

 sera algébrique si celle courbe est la développée d'une courbe algébrique. 



Il n'est pas besoin d'insister pour établir qu'un élassoïde ne pourrait être 

 algébrique sans que son conjugué le fût. Tous les élassoïdes groupés ou 

 stratifiés sont algébriques si l'un d'entre eux l'est. 



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