114 ETUDE DES ELASSOIDES 



§ 88. 



Surfaces dont les lignes asymptoliques et leurs images sphériques 

 sont des contours conjugués. 



Citons un exemple forl curieux de contours conjugués. Soit une surface (S) 

 telle qu'en chacun de ses points le produit des rayons de courbure principaux 

 soit constant, négatif et égal, en valeur absolue, à a~. Considérons, d'autre 

 pari, une sphère de rayon a et faisons sur la sphère l'image du réseau des 

 asymptoliques de (S). 



Soit dea 2 l'aire sphérique d'un élément de la surface (S). R, et R 2 dési- 

 gnant les rayons de courbure principaux de (S), on sait d'après Gauss, que 



rf(S) = rf8.R,R,. 



Il en résulte que, dans ce cas, Vaire d'une portion de la surface (S) est égale 

 à Faire sphérique correspondante, prise sur la sphère de rayon a. 



Manifestement, toutes les fois que deux surfaces se correspondent avec 

 conservation des aires, on peut tracer sur elles un double réseau de courbes 

 égales par correspondance, et réelles. Il est manifeste également qu'en deux 

 points correspondants les courbes de longueur conservée se coupent sous des 

 angles supplémentaires (car leurs sinus doivent être égaux, pour que la cor- 

 respondance homalographique ail lieu). 



Dans le cas actuel, on voit facilement que les images sphériques des asymp- 

 toliques de (S) (faisant entre elles un angle supplémentaire de celui des 

 asymptoliques), sont, sur la sphère, les lignes de longueur conservée. Mais 

 nous avons déjà eu l'occasion de faire observer qu'une ligne asymptolique et 

 son image sphérique se correspondent toujours par orlhogonalité des éléments. 



On voit, par conséquent, qu'une ligne asymptolique de la surface (S) et 

 son image, sur la sphère de rayon a, sont deux contours conjugués. 



Les élassoïdes conjugués correspondants sont circonscrits à la surface (S), 

 le long de l'asymptolique, et, à la sphère, suivant l'image (*). 



(*) Nous avons démontre que sur (S) quatre asymptoliques quelconques, par deux, de familles 

 différentes, forment toujours un parallélogramme, courbe, en ec sens que les segments opposés 



sont égaux. Il en est de même des images sphériques. 



