122 ETUDE DES ELASSOIDES 



et ces deux équations sont équivalentes à 



, r g 1 



fr'-jp-*- <*•>*•= = (57) 



Ces directions seront imaginaires, lorsque, parmi les congruences, deux 

 seront réelles; inversement lorsque ces directions seront réelles toutes les 

 congruences isotropes satisfaisantes seront imaginaires. 



On sait par la théorie des congruences isotropes que ces directions imagi- 

 naires sont les traces, sur le plan de référence, des plans tangents aux déve- 

 loppâmes isotropes focales des congruences satisfaisantes. Conséquemment, 

 les directions en question doivent former dans le plan deux familles de droites 

 imaginaires enveloppant les traces, sur le plan, des deux développables 

 isotropes focales. 



§ 95. 

 Définition géométrique du réseau orthogonal satisfaisant. 



Si l'on considère deux développantes des traces focales, le réseau ortho- 

 gonal {u, v) est formé par l'ensemble des courbes telles que la somme ou la 

 différence des distances de leurs points aux deux développantes soient 

 constantes. 



Vérifions au moyen de l'équation (56), que le réseau (u, v) satisfait 

 toujours à la définition précitée. On peut, dans chaque cas, particulariser 

 ces variables U et V, et ramener l'expression du carré de l'élément linéaire 

 à la forme 



dv 1 dir 



dS- = 



cos'y sin*f 



qui caractérise d'après M. Weingarten tout réseau orthogonal formé (sur une 

 surface arbitraire) par les courbes dont tous les points sont à des distances 

 géodésiques de deux courbes fixes dont la somme ou la différence est 

 constante (*). 



(*) M. Ossian Bonnet a donne, de ce fait, une démonstration simple (p. 96 du XLII e cahier 

 du Journal de ï Ecole polytechnique). 



