OU SURFACES A COURBURE MOYENNE NULLE. 123 



Ici, quand l'angle <j> est réel, les congruences isotropes sont toutes imagi- 

 naires, et inversement. 



Comme vérification, on doit trouver que les lignes définies par l'équa- 

 tion (57) sont des géodésiques. 



§ 96. 



Cas où le réseau satisfaisant est isométrique : il est composé 

 de coniques homo focales. 



Le réseau (u, v) ne peut, à la fois, être isométrique et être caractérisé 

 par la relation (56), que si le carré de l'élément linéaire du plan peut se 

 mettre sous la forme 



rfs 2 = (tr 2 — v 2 ) [du- -k- dv-y, 



mais alors, d'après une théorie bien connue de AI. Liouville, l'intégrale des 

 géodésiques du plan peut s'écrire 



Usin 4 < f + Vcos'-> = KO 



et chaque valeur de la constante /.• définira une double famille de géodé- 

 siques, enveloppant, par conséquent, deux courbes. Lorsque les valeurs de k 

 seront telles que l'angle y soit imaginaire, on déduira des droites ainsi obte- 

 nues deux congruences isotropes réelles. 



Ainsi le réseau orthogonal plan, particulier, qui est à la fois isométrique 

 et de la forme permettant l'intégration des géodésiques, donnera lieu à une go 2 

 de congruences isotropes. Nous ne nous arrêterons pas à démontrer, après 

 AI. Liouville, que ce réseau plan, remarquable, est unique et qu'il est formé 

 par des coniques homofocales. 



Dans ce cas les congruences isotropes satisfaisantes ne sont autre chose que 



(") C'est d'ailleurs l'intégrale qu'on obtiendrait immédiatement en cherchant à résoudre (57) 

 qui est l'équation des traces principales des congruences isotropes. 



