\M ÉTUDE DES ÉLASSOIDES 



Dans le premier cas (C) présente en P un rebroussement et les rayons rie 

 courbure A«, ïib doivent être considérés comme étant de signe contraire; 

 dès lors le point est dans le plan de symétrie à une hauteur au-dessus de 

 w marquée par le produit de la longueur de l'arc imaginaire Pb par V — 1. 

 On voit que le plan de symétrie coupera l'élassoïde moyen suivant une nou- 

 velle géodésique dont les points réels correspondront aux couples de points 

 symétriques, imaginaires, de (D) et inversement. Nous reviendrons plus loin 

 sur ce cas particulier. Le contour conjugué n'est autre chose qu'une droite 

 perpendiculaire au plan de symétrie. 



Au contraire, si la courbe (D) présente un rebroussement sur l'axe 

 de symétrie, la développante (C) coupant cet axe à angle droit en P, les 

 rayons de courbure en deux points symétriques ont même signe, leur 

 différence est donc nulle. En conséquence, le plan de symétrie de (D) coupe 

 l'élassoïde moyen suivant l'axe de symétrie PP'. Le contour conjugué 

 est, au contraire, une géodésique située dans un plan perpendiculaire à 

 l'axe PP'. 



104. 



On peut tracer sur des élassoïdes, même algébriques, des droites 

 n'ayant que des parties réelles situées sur ces surfaces. 



Au point de vue de la réalisation physique par le procédé de iM. Plateau, 

 il convient de faire observer que, toutes les fois qu'un élassoïde, algébrique 

 ou non, admettra un plan de symétrie, lui et son conjugué, simultanément 

 algébriques, contiendront des droites; mais il est fort remarquable que cer- 

 taines de ces droites soient seulement réelles partiellement. Donnons un 

 exemple. 



Soit proposé de construire l'élassoïde admettant pour géodésique la déve- 

 loppée d'une ellipse; il est algébrique ainsi que son conjugué, mais, sur 

 celui-ci, le contour correspondant à la développée est une droite égale en 



