OU SURFACES A COURBURE MOYENNE NULLE. 135 



longueur (nous parlons de la partie réelle) au quart du périmètre total de la 

 développée. 



Aussi dans la réalisation physique devra-t-on obtenir des nappes se reliant 

 d'elles-mêmes à des segments de droite limités. 



On peut déduire, des formules interprétées ci-dessus, des conséquences 

 d'un genre tout différent. 



Si les arcs (a) et (b) des courbes développées de (A) et (B) s'expriment 

 algébriquement, les élassoïdes seront algébriques. 



§ 105. 

 Élassoïdes transcendants admettant des lignes algébriques. 



Bornons-nous à examiner le cas de l'élassoïde admettant pour géodésique 

 une courbe plaiie (D); si celle-ci n'est pas la développée d'une courbe algé- 

 brique (C), les élassoïdes seront transcendants , mais dans certains cas ils 

 contiendront des courbes algébriques. 



Les courbes algébriques d'un élassoïde transcendant correspondront aux 

 groupements de points a et b tels que la différence ou la somme des longueurs 

 correspondantes des arcs (a) et (b) soient algébriques. 



Un exemple éclaircira : Soit proposé de chercher Y élassoïde admettant 

 pour géodésique une ellipse donnée (D). Celte surface est transcendante, 

 puisque le Z est proportionnel à la différence des deux arcs de l'ellipse. 



Mais, considérons les points du plan rangés suivant une hyperbole homo- 

 focale (H), ou suivant une ellipse (E) également homofocale à (D). On sait, 

 d'après un théorème dû à M. Chasles, que si le point M décrit l'ellipse (E), par 

 exemple, les arcs décrits par les points de contact des tangentes à (D) issues 

 de M ont une différence algébrique (*). Dès lors, les points de l'élassoïde cor- 

 respondant à ceux de l'ellipse (E) seront situés sur une courbe algébrique. 



(*) A la façon de compter les ares, adoptée ci-dessus, il faut dire ici la différence 



