136 ETUDE DES ELASS01DES 



Au contraire, si l'on suit l'hyperbole (H), ce sont les points de l'élas- 

 soïde conjugué cpii se rangent suivant une courbe algébrique. 



Étant donnée la nature des transcendantes déterminant les longueurs 

 d'arcs d'ellipse, on voit que sur chacun des deux élassoïdes précités il n'y 

 a qu'une famille de courbes algébriques. Au demeurant, s'il y en avait 

 deux, les élassoïdes seraient algébriques. 



100. 



Les lignes de niveau d'un élassoïde admettant pour géodésique une courbe 

 plane algébrique dont l'arc s'exprime par une fonction elliptique de 

 première espèce, sont algébriques. 



Soit pris en général pour (D) une courbe algébrique dont l'arc s'exprime 

 par une fonction elliptique de première espèce [M. Serret a montré qu'il en 

 existe une infinité, toutes unicursales; la plus simple est la lemniscale de 

 Bernoullfj. L'élassoïde qui admet (D) pour géodésique, et son conjugué, 

 sont coupés par des plans parallèles à celui de (D) suivant des courbes 

 algébriques. 



11 importe d'observer que ces diverses courbes algébriques ne se corres- 

 pondent pas d'un élassoïde à l'autre. On sait d'ailleurs qu'en thèse générale, 

 si Ton trouve deux contours conjugués algébriques, les élassoïdes conjugués 

 sont algébriques. 



Ajoutons que, le long d'une courbe algébrique d'un élassoïde transcen- 

 dant, la développable circonscrite est algébrique. En effet, l'équation (62') 

 donne pour la trace du plan tangent à l'élassoïde moyen sur le plan de 

 référence 



F — f F' h- f 



— XsinS -+- YcosS -+- sina cosa = 0. 



r f 2 2 



