142 ÉTUDE DES ÉLASSOIDES 



Sans entrer dans aucun nouveau détail, nous dirons, par exemple, 

 (|iie : 



Toutes les fois qu'un élassoïde admet une géodésique plane (a) et que les 

 projections de ses lignes de courbure, sur le plan de la géodésique, sont 

 algébriques, on peut faire passer un élassoïde algébrique par chacune des 

 courbes parallèles à (a). 



Arrêtons-nous un instant à montrer comment se déterminent les lignes de 

 courbure d'élassoïdes simples, algébriques ou non. 



§ 111. 



Les lignes de courbure d'un élassoïde dont une parabole est géodésique 

 dépendent des fonctions elliptiques. 



Élassoïde admettant pour géodésique une parabole. 



L'élassoïde n'est pas algébrique puisque l'arc de la développante de la 

 parabole dépend des logaritbmes. Prenant pour origine le foyer et pour axe 

 polaire Taxe de la courbe, on voit, d'après les propriétés élémentaires de la 

 parabole, que 



>c5 



C). 



si p désigne le paramètre de la courbe. Conséquemment l'intégrale carac- 

 téristique de l'équation des lignes de courbure (car les deux intégrales sont 

 de même forme quand les deux courbes (a) et (b) coïncident) est 



posons 



1 



cos2« 



[') e étant l'angle de la normale avec l'axe de la parabole. 



