144 ETUDE DES ELASSOÏDES 



§ 113. 



Lignes de courbure des élassoïdes admettant pour géodésique une épicycloïde. 



(Fonctions elliptiques.) 



Considérons maintenant tous les élassoïdes admettant pour géodésiques des 

 épicycloïdes ou des hypocycloïdes planes. On sait que ces courbes sont sem- 

 blables à leurs développées, par conséquent foutes celles qui sont algébriques 

 [et il y en a une infinité] donnent lieu à des élassoïdes algébriques. 



R désignant le rayon du cercle, base de l' épicycloïde, et r le rayon de la 

 roulette génératrice, p la dislance, à la tangente, du centre de la base,^ étant 

 l'angle de la normale et de Taxe polaire, 



u 



p = (R -t- 2r) sin — a, 



' y ' R -+- ai- 



de même, pour une hypocycloïde on trouverait 



R 



»'= (R _ -2r) sin a. 



' v ; R — 2r 



Conséquemment, d'une façon générale pour les deux genres de courbes, 



p = asinkw, 



et les courbes correspondantes seront algébriques chaque fois que fc sera un 

 nombre commensurable. 



L'intégrale caractéristique des lignes de courbure prend la forme 



J lia V sin/w , 



posons 



■k 2 



a== Tk~V 



