OU SURFACES A COURBURE MOYENNE NULLE. 117 



Si nous considérons en effet l'élassoïde admettant pour géodésique la déve- 

 loppée de cette première podaire négative de la parabole (surface manifeste- 

 ment algébrique), nous trouvons pour l'intégrale caractéristique des lignes de 

 courbure 



_rfe_ 

 / * e 



/ COS'- 



V*l 



Dès lors l'intégrale des lignes de courbure ou des asymploliques est 

 donnée par une relation de la forme 



I ?H / *\i 

 mltg — l ±»ltg— = constante. 



Enfin, ce qui précède met en évidence une application des plus remar- 

 quables sur laquelle il convient d'insister. 



§ 116. 

 Deux exemples de lignes de courbure transcendantes. 



La podaire négative dont il vient d'être question est la développée d'une 

 courbe algébrique (C) dont l'équation langentielle est, comme nous l'avons 

 montré, 



9 



P =2a - ta-. 



Les développantes de celles-ci sont à leur tour définies par l'équation 



e 

 P' = — 4alog. cos — h C, 



laquelle est transcendante, par conséquent l'élassoïde, qui admet (C) pour 

 géodésique, est transcendant. 



Les lignes de courbure et les asymploliques sont également transcendantes; 

 donc de ce côté il n'y a rien à découvrir au point de vue de Yalgébricilé. 



