148 ETUDE DES ELASSOIDES 



Mais il n'en sera pas de même si nous considérons la transformée par 

 rayons vecteurs réciproques de la parabole en prenant pour pôle de trans- 

 formation le foyer. 



Soit 6 l'angle de la parallèle à la normale en c à la courbe considérée (C). 

 Soit P le pied de la perpendiculaire abaissée du foyer F sur la tangente. 

 Enfin soit b le point correspondant de la première podaire négative de la 

 parabole. On sait que F b est parallèle à la normale en c à (C) et que F, Pet 

 b sont en ligne droite. 



On a manifestement 



comme d'ailleurs 



F6= 



cos — 

 3 



F/, x F P = <r. 



(« 2 étant pris pour la puissance de transformation) 



FP=acos 3 -; 

 3 



mais, si l'on forme l'équation de la développante 



/. « . S ( I B\ 



rfe.acos'- = ôasin - 1 sur- . 

 3 5 \ 3 3/ 



On voit qu'elle est algébrique; conséquemmenl : 



L'élassoïde qui admet pour géodésique la transformée par rayons vecteur s 

 réciproques d'une parabole (le pôle étant au foyer) est algébrique (*). 



On trouve en opérant comme d'habitude, pour le rayon de courbure 



de (C), 



-1 e 

 R c = — acos - . 

 3 5 



(*) Cette courbe est une cardioïde, variété d'une épicycloïde algébrique; conséquemment, on 

 devait prévoir que l'élassoïde serait algébrique, mais ce qui précède conduit à la généralisation 

 qu'il importait de signaler. 



