OU SURFACES A COURBURE MOYENNE NULLE. 149 



Dès lors l'intégrale caractéristique des lignes de courbure et des asympto- 

 liques devient 



/'à , / 20 pde . / 9 



la déterminai ion des lignes de courbure de cet élassoïde dépend encore des 

 fonctions elliptiques. 



§ M7. 



Elude d'une famille d'élassoïdes algébriques ou dépendant 

 de fondions circulaires. 



Plus généralement, considérons la courbe (C„) dont l'équation langenlielle 

 est 







p ==acos n — ; 

 n 



on trouve pour son rayon de courbure R„ 



>i — 1 e 



H„= a. cos" — . 



n n 



Conséqueinmenl la développante serait définie par l'équation 



f de d 

 Pd„ = «" / —cos"-, 



, / n n 



et l'intégrale caractéristique des lignes de courbure des élassoïdes dérivés de 

 (C„) serait 



I décos- 

 ■J n 



Si n est impair, 



P D = asin - 

 n 



„ i" »—* „ ,8 2.4 ...(« — 3)(« — 1)~ 



cos" -1 - -+- cos"- 3 



n n — 2 n 1 .5. .. ( 



n — 3) (w — 4)~| 



n — 4) (n — 2)J 



par conséquent /a développante est toujours algébrique. 



Il en résulte, alors, que tout élassoïde admettant pour géodésique une 



