laO ETUDE DES ELASSOIDES 



courbe (C 2m+1 ) est algébrique. [Nous indiquons par les notations (C 2m ), 

 (Cim+0 d es courbes satisfaisantes pour lesquelles le coefficient n prend des 

 valeurs paires et impaires.] 

 Si n est pair, 



. ef 9 » — ] .9 5.5... (« — à) (n— Il el 



P D „ = asin- cos"~' - -t cos"" — t- cos — 



n [_ n n — -> n 2.4... (n — 4) (n — 2) «J 



1.3... (/t — 3) (n — 1) 9 

 2.4... (n — 2)» ?< 



Conséquemment fou/ élassoïde admettant pour géodésique une courbe (C 2m ) 

 dépend des fonctions circulaires. 



Mais il est remarquable que, dans ce cas, les intégrales caractéristiques, et 

 par conséquent les lignes de courbure des élassoïdes dérivés dépendent aussi 

 seulement des fonctions circulaires. En effet, on a 



m = 4mi; ou ii = "2m, 



suivant que le nombre pair n est ou n'est pas divisible par 4. 

 Supposons tout d'abord que n soit divisible par k ; il vient alors 



J'de l/R = kj'ch. cos^'-'cc, 



dont l'expression intégrale est algébrique. H en résulte que les projections 

 des lignes de courbure et des asymptotiques des élassoïdes dérivés d'une courbe 

 (C 4n ), sur le plan de cette courbe, sont algébriques. Les courbes elles-mêmes, 

 comme les élassoïdes, dépendent des fonctions circulaires. 

 Supposons maintenant que n ne soit divisible que par 2 



fdo l/R = kJ'dacos'"-'co, 



et comme la puissance du cosinus est paire, les projections des lignes de 

 courbure des élassoïdes dérivés de la courbe (C 3n ) dépendent des fondions 

 circulaires. 



Considérons encore le cas où n est pair et négatif. Soit, par exemple, 



n = — 4)», ou n= — 1m 



