OU SURFACES A COURBURE MOYENNE NULLE. 153 



on obtient par dérivation pour le rayon de courbure de la développée 



</ o(n — l)(n— 2) ,8.e 



— H = cos"-' - sm - . 



do ri ii n 



Conséquemment l'intégrale caractéristique des lignes de courbure du nouvel 

 élassoïde sera de la forme 



./ 



dco. cos w.sin^w, 



qui se ramène immédiatement aux intégrales binômes. En particulier si n est 



égal à 



4a ■+- 2 OU 4a -H 1. 



L'intégration s'effectue complètement, a étant un nombre entier arbitraire. 



A propos de l'élude des élassoïdes applicables sur des surfaces de révolu- 

 lion, nous aurons l'occasion de montrer de nouveaux exemples d'élassoïdes 

 dont les lignes de courbure sont algébriques. 



§ 120. 

 Relations entre deux géodésiques planes réciproques, d'un même élassoïde. 



Nous terminerons ce chapitre en établissant une propriété fort curieuse 

 des élassoïdes admettant un plan de symétrie. Un élassoïde de celte nature 

 est coupé par le plan suivant une géodésique; si celle-ci admet un axe de 

 symétrie, le plan mené par cet axe perpendiculairement au premier est 

 encore plan de symétrie; il coupe donc l'élassoïde suivant une nouvelle 

 géodésique et ce sont les relations de ces deux géodésiques réciproques que 

 nous allons mettre en évidence. 



Soient pris pour plan des XY et des ZX les deux plans de symétrie, le 

 plan des YZ étant pris perpendiculairement aux précédents, et l'origine étant 

 arbitraire. 



Tome XLIV. 21 



