IU ÉTUDE DES ELASSOIDES 



ces courbes, dont la chaînette est le type, sont toutes transcendantes. 

 On voit par cette énumération qu'aucun des élassoïdes admettant des 

 courbes (0) pour géodésiques ne peut être algébrique, car tant que n est 

 entier, à toute courbe (0) algébrique correspond une courbe (0') transcen- 

 dante et inversement. Lorsque n est fractionnaire, aucune des géodésiques 

 (0) et (0') n'est algébrique. 



§ 129. 

 Longueurs des courbes satisfaisantes. 



Désignons par F' la dislance de l'origine aux tangentes d'une courbe (0), <a, 

 l'angle auxiliaire employé précédemment, est l'angle que fait la normale 

 avec la base prise pour axe polaire, on a, en conservant les notations rela- 

 tives aux courbes génératrices (C), 



par conséquent 



F' 



— = -+- Msillu / ptho ■+■ COsii)./); 



— = ■+- II COS a f COS" a.llu — silKJ . l'Os" u 



Soit eu intégrant par parties 



- = — WCOSco / VOS" coda -+-(«+ 1) / cos" +1 co.da. 



Mais d'après la formule de réduction bien connue 



(n ■+■ l) f cos" +i a.da = sinacos" co -t- » / cos" -, «. de, 



il vient aussi 



F 



- — n f vos"~ l a.da -+• sinucos n u — hcosco / cos"co.rf». 



