OU SURFACES A COURBURE MOYENNE NULLE. 16o 



On en déduit pour Parc delà courbe (0) 



s, 



(0) 



= F -+- F" = na f cos" _l u.rfa), 



ce qui peut êlre considéré comme une vérification. 



§ 430. 



Lignes algébriques des élassoides (E n ) et de leurs conjugués (E[\ Leurs 

 images sphériques forment un réseau orthogonal de grands et de petits 

 cercles. 



Cherchons maintenant à déterminer sur les élassoides, admettant une 

 courbe (0) pour géodésique, les lignes algébriques. Les calculs s'applique- 

 ront immédiatement aux élassoides conjugués en utilisant les formules des 

 §§ 104 et 109. 



Nous désignerons par [E n ] et [E' n ] les élassoides dérivés l'un d'une courbe 

 (0), dont le paramètre est n, l'autre conjugué du précédent. 



D'après le théorème sur l'association des géodésiques (0), caractérisées 

 par les paramètres ± n, il suffira de considérer deux cas: 



1° n positif et pair [(0) est du genre cycloïdal]. Remplaçant w par y el<p, 

 comme dans la théorie générale, on trouve d'après (66), (67), pour les 

 coordonnées de l'élassoïde [E„] 



2a v ? • 



— =2, sine 

 « * 



2»/ m 



— =2;cos"u, 

 a * 



In — ' 



COs" a H C0> 



3.5...(n — 3)(n— 1) ] 1.3...(n— 3)(n— i) 



COS M H w. 



2.4...(n— 4)(n -2) 2.4...(« — 2)« 



— 1 2 . ., , n — 2 . 2.4...(n — 4)(n — 2)"| 



• - • ( = A , SHKo COS "a H COS'^'coH - , 



n a * n — ô 1 .3... (n — S)(n — 3)J 



groupe où les symboles 2 ? et A* représentent les sommes et les différences 



