OU SURFACES A COURBURE MOYENNE NULLE. 107 



Les formules qui précèdent montrent immédiatement par quelles asso- 

 ciations de valeurs de y et ^ on obtiendra des lignes algébriques des 

 élassoïdes. 



i° n étant positif et pair [(0) étant du genre cycloïdal] les lignes algé- 

 briques sont déterminées sur [E„] par 



y -+■ ip = 2a = constante , 



sur [E;,] par 



f — f = 2ij3 = constante; 



inversement 



2° n étant positif et impair [(0) étant du genre circulaire] les lignes 

 algébriques sont déterminées sur [E n ] par 



f — <p = 2*(3 = constante , 



sur [E,',J par 



j, -j. f = 2a = constante. 



Les images sphériques de ces courbes algébriques sont, dans tous les cas, 

 déterminées par les équations 



— x Y Li R 



sina cosa sin »(3 cosifi 



Conséquemment, elles sont tantôt de grands cercles admettant (axe des Z 

 pour diamètre , tantôt les petits cercles dont les plans sont perpendiculaires 

 à l'axe des Z. 



Ainsi , lorsque n est positif et pair : sur [E n ] les lignes algébriques 

 sont les courbes de contact de cylindres dont les génératrices sont parallèles 

 au plan de la courbe cycloïdale (0). 



// en est de même sur [E,',] lorsque n est positif et impair. 



Par exemple, si »* = 2, [E.,] est l'élassoïde de M. Catalan, où s'associent la 

 cycloïde et la parabole; les lignes algébriques sont des paraboles dont les plans 



