OU SURFACES A COURBURE MOYENNE NULLE 171 



on sait d'avance que le réseau formé par ces deux familles de courbes est 

 orthogonal et isométrique, et que toutes les trajectoires des courbes d'une 

 même famille sont algébriques. 



Les lignes de courbure de [E :i ] se projettent sur le plan du cercle [OJ, du 

 degré 6 (voir § 126), suivant des courbes algébriques. Il est remarquable que 

 les asymploliques de Félassoïde [E^] transformées des lignes de courbure 

 de [E 3 ] ont aussi leurs projectons algébriques sur le plan de (0 3 ). Pour »=>1 

 on a un résultat semblable avec cette particularité, qui ne se retrouve plus 

 ici, que les deux projections coïncident avec des droites et des cercles 

 orthogonaux. 



Il est facile de voir que si l'on a 



M = 4a -+- 5 , 



« étant un nombre entier quelconque, les images sphériques et les projeclions 

 des lignes de courbure des élassoïdes (E„) et [E'„] seront algébriques. Il 

 faudra, bien entendu, ne considérer que les projeclions des lignes de cour- 

 bure effectuées sur les plans des cercles (0) de degré 2>«. 



§ 134. 

 Au sujet des courbes (0) quand n est fractionnaire. 



Dans tout ce qui précède, il n'a été question que des séries dérivées de 

 n = 1, séries qui comprennent tous les élassoïdes caractérisés par des 

 valeurs entières de n. On pourrait également considérer le cas beaucoup plus 

 étendu où n est fractionnaire. Les élassoïdes [E„] correspondants possèdent 

 toujours deux géodésiques (0 ± „). Ces courbes elles-mêmes font partie de 

 deux séries de courbes, podaires les unes des autres, correspondant à toutes 

 les valeurs du paramètre augmentées ou diminuées de nombres entiers. Ces 

 deux séries seront toujours distinctes hormis dans le cas où n = ±^. Dans ce 



