OU SURFACES A COURBURE MOYENNE MLLE. 185 



§ 143. 



Le réseau (fù) est le seul du plan qui corresponde à un réseau orthogonal 



de l'élassoïde. 



Dans le cas général, les courbes correspondant, sur les deux élassoïdes, 

 aux lignes (p) et (à) sont rectangulaires; les calculs du § 137 montrent en 

 effet que leurs conjuguées sont orthogonales, ce qui équivaut à la proposition; 

 mais cette propriété peut s'établir directement comme il suit. 



Calculons, sur la sphère, le carré de l'élément linéaire rapporté au réseau 

 des images sphériques des lignes correspondant aux (p) et (>.). On sait que, 

 d'une façon générale, on a sur la sphère de rayon unité (§ 109) 



d& % = -*-— - . 



COS-a 



ou encore 



dp 2 — lia 1 



cm = • 



Mais on déduit des valeurs de dl et dp particularisées 



dp , di ^ 



-4FT'-^=— (F" « /") + — -(F"-/"), 



lg« COta 



d/" , *'* ,„ 

 — 4F'7".rf« = -— (F" -/ ")h (F" + /"). 



Iga cota 



On en conclut 



f/«*COt s a — (l'/' 2 ls'a 



ta ' ^ 



IS' 



4F"./'".COS 2 a 



Ce qui montre bien que l'image sphérique est formée de courbes orthogo- 

 nales. Comme, sur les élassoïdes et sur la sphère image, les angles se conser- 

 vent dans la correspondance : 



Le réseau orthogonal plan ()., p) correspond, sur les deux élassoïdes, à un 



