184 ETUDE DES ELASS01DES 



réseau orthogonal. Il est même clair qu'il n'y a pas d'autres réseaux ortho- 

 gonaux se correspondant sur le plan et sur les élassoïdes. 



Nous venons de voir que, dans le cas où le réseau (X, ^) est formé de 

 coniques homol'ocales, le réseau sphérique correspondant est formé égale- 

 ment de coniques sphériques homol'ocales, constituant un réseau isométrique. 

 On sait, d'après un théorème de M. Ossiau Bonnet, que les courbes corres- 

 pondantes des élassoïdes sont aussi isométriques. 



§ 1U. 



Si le réseau (/,u) de l'élassoïde est isométrique, son correspondant du plan 

 est formé de coniques ho ino focales. 



Il est intéressant de chercher dans quel cas celte propriété subsistera, à 

 raison du caractère du réseau (1, //). 



Il faut que le logarithme du quotient des coelïîcienls du carré de l'élément 

 linéaire soit la somme de deux fonctions, l'une de >., l'autre de p. Ce qui 

 conduit à la condition 



(/- 



oglga = 0. 



dudv 



D'ailleurs on trouve la même condition en exprimant que le réseau plan 

 (fyt) lui-même est isométrique. Mais nous avons montré d'après M. Liouville 

 que le réseau (?., p) ne peut être dans ce cas composé que de coniques homo- 

 focales; conséquemment les élassoïdes admettant une conique pour géodé- 

 sique jouissent d'un caractère dislinctif tout particulier, qui permet d'énoncer 

 la proposition suivante : 



Que, de tous les points d'une droite, comme sommets on circonscrive des 

 cônes à un élassoïde ; que l'on trace sur celui-ci les trajectoires orthogonales 

 des courbes de contact ; si le réseau orthogonal ainsi obtenu est isométrique, 

 l'élassoïde est conjugué de celui qui admet une conique pour géodésique. 



